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无偏估计

发布时间:2019-06-26 13:08 来源:未知 编辑:admin

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  无偏估计是用样本统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,则称此此估计量为被估计参数的无偏估计,即具有无偏性,是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是:在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。无偏估计常被应用于测验分数统计中。

  设总体ξ的概率分布函数为F(x;θ),其中x为变元,θ∈Θ为未知参数,Θ称为参数空间。(ξ

  例如,估计总体平均值μ时,若以样本平均值ξ为估计量,则可算得ξ的数学期望E(ξ)=μ,这说明ξ是总体平均值μ的无偏估计。

  具有上述无偏性的估计称为无偏估计。在统计学中,总体参数的估计基本上都是无偏估计。

  无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。统计推断的误差有系统误差随机误差两种。无论用什么样的估计值

  ,总会时而对某些样本偏高,时而对另一些样本偏低。而无偏性表示,把这些正负偏差在概率上平均起来,其值为零,即无偏估计量只有随机误差而没有系统误差。例如,用样本均值作为总体均值的估计时,虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。

  但是需要注意的是,所谓“平均为零”只有在大量重复使用此模型时才能体现出来。关于这一点,需要用大数定律作进一步解释。

  (X(i))。设X(1),X(2),…,X(m)是独立同分布的。若具有无偏性,按照强大数定律,有

  (X(i))不一定恰好等于θ,但在大量重复使用时,多次估计的算术平均值可以任意接近待估参数θ的真实值。若估计量

  与θ的偏差的平均值随使用次数的增多而趋于零。因此,无偏性只有在多次重复使用中,各次误差相互抵消,才能显出其优良性。无偏估计并不总是存在的,如服从二项分布的总体B(n,p),0p1,则1/p的无偏估计就不存在。有时,无偏估计虽然存在,但不够合理。又有些问题中,无偏估计很多,则其优良性由它们的方差来决定,方差越小越优良。

  (2)可估参数的无偏估计往往不唯一。统计学中,将存在无偏估计的参数称为可估参数,可估参数的无偏估计往往不唯一,而且只要不唯一,则即有无穷多个。一个参数往往有不止一个无偏估计。

  于林. 关于无偏估计的几个问题[J]. 高等数学研究,2006,(04):119-121.

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